许卫兵

“正面强化”与“反向厘析”

——数学课堂“有效教学”重难点突破策略例谈

       江苏省海安县实验小学     许卫兵     226600

       江苏张家港市沙洲小学     陈惠芳     215600

无论是传统教学还是现代教学，数学课堂总会将突出重点、突破难点作为重要的教学目标。而有效的数学课堂教学也必定是那种在突出重点、突破难点的过程中，让学生透彻地理解数学概念、原理、方法，合理、有序、正确地进行数学思考，全面、深刻、科学地对所学数学知识进行解释和应用的教学。

要创建这样的数学课堂，只是明确把握到了教学的重点、难点或者纯粹进行针对性的机械训练，是远远不够的，还必须付诸以简洁、明快、清晰、有效的组织策略。下文试从两个教学案例的简介和解读中，直观呈现“正面强化”和“反向厘析”的教学策略。

【案例一】三年级“认识分数”教学片断

（在学生已经初步认识了将一些物体组成的整体平均分成若干份，其中的一份也就是这个整体的几分之一之后，教师出示一组图形）
                   
    师：第一个图中，红色部分是一个圆片的几分之几？

生：这个圆片被平均分成了5份，红色部分是5份中的1份，也就是它的1/5。

师：你的回答很完整，很清晰。再看第二幅图。

生：红色的部分也是这些圆片1/5。

师：你是怎么想的？

生：一共5个圆，平均分成5分，一个圆正好是其中1份，就是这些圆的1/5。

师：5个圆，平均分成5分后（老师竖起５个手指头），每份正好是1个圆，也就是这些圆片的1/5，呵呵，真是巧啊！第三幅图呢？

生1：它的红色部分也可以用1/5表示。

师：噢，还是1/5,大家赞成吗？

生2：我不同意！我认为应该是2/10。

师：（稍停了停，眼睛一亮）有同学发出不同的声音了。还有其它的想法吗？

生3：我认为既可以用1/5来表示，也可以用2/10来表示。

师：（微笑着）现在有三种意见了，还有第四种想法吗？（没有人举手示意）

师：这三种想法谁对谁错呢，我们还是听听刚才几位同学的思考吧。

生2：一共有10个圆片，其中的2个涂了红色，所以，红色的圆片是这些圆片的2/10。

生1：不对。一共是有10个圆片，但是他们被老师平均分成了５份，红色部分只是其中的1份。所以，红色的部分也是这些圆片1/5。

师：你从哪里看出老师把它们平均分成５份？

生1：从图中的虚线看出来的。

师：大家都看到这几根虚线了吗？（看到了）再仔细看看，这几根虚线起着怎样的作用？（平均分成了５份）那红色部分呢？（是其中的１份）

师：从图中我们看到老师将这些圆片平均分成10份了吗？（没有）那大家从我们刚才的研究再想想，你赞同谁的想法？

生：红色的部分是这些圆片1/5。

师：刚才一个同学是数的圆片的个数，而一个同学是数的平均分的——（份数），我们在观察图形，用分数来表示时，应该去看什么呀？（份数）

师：看来同学们在辩论和比较中已经真正认识到分数的本质了。

师：咦，这是什么？（屏幕显示一个孙悟空的图片）同学们都知道孙悟空的本领很大，可以72变。大家看好了——

（电脑显示一个孙悟空变化成了24个孙悟空，学生感到特别新奇，好几个人不由自主“哇——”地叫起来，如下左图）
            

师：把这些孙悟空看作一个整体，涂色部分你能用哪个分数来表示呢？

生：1/3！

师：哦，你真不简单!怎么这么快就想出1/3这个分数的？

生：我是横着看的，把这些孙悟空图片平均分成了3份，涂色的是其中1份，所以就用1/3来表示！（学生回答后，老师在图中补上相应的分割虚线）

师：看来不管总数怎样增加，用分数来表示时，主要看什么？

生：主要看平均分成多少份，还有涂色部分是其中的几份。

师：孩子们，孙悟空又要变了（孙悟空的图片再次增加到63个，学生更加兴奋起来，如上右图）这时涂色部分用哪个分数来表示比较好呢？同桌的可以商量商量。

生：涂色部分可以用1/6来表示。因为竖着这样分（指着图形，每两竖行分为一份），一共是6份，涂色部分是其中的1份。

师：（几位学生回答后，请一个同学在图中补上相应的分割虚线）现在大家都看出来了吗？

生：看出来了！

师：变！（孙悟空的图片增加到96 个，如右图）把这么多的孙悟空看作一个整体，涂色部分你能用哪个分数来表示呢？
             

生：我想是1/12吧。

师：你怎么会看到12份？

生：我把涂色部分看作一份，横着看，一排大约有四份；在竖着看，一行大约有3份。三四十二，就是12份了。

师：（学生回答后，老师在图中添加等份虚线）是这样吗？看出来的同学请举手！同学们真的好棒哦！！（老师带头鼓起掌，学生也跟着鼓掌）

【教学解读】

数学课堂教学的重点大多是融知识、能力、方法于一体且贯穿课堂教学始终的核心认知点。有人说好的数学课堂就像演绎一首优美的歌，要唱响主旋律；犹如开掘一弯清清的泉，要奔向主渠道。其意一方面表达了对数学课堂的诗意追求，另一方面也暗含了数学课堂教学应该是重点突出的，层递流动的。

在分数的认识中，“掌握、理解将一个（些）东西看作一个整体，平均分成若干份，表示其中的一份和几份就用分数”是教学的核心重点。回顾上述环节，圆片图是模仿性练习，通过圆片个数不同但都用 来表示涂色部分，在“变”与“不变”的比较、辩论中，让学生感受到分数的本质。而孙悟空的“变身”游戏，有种出其不意的效果，首先给学生带来视觉上的冲击力，一下子感受到总数量的明显变化，通过细致的观察、比较后，仍然使用简单的技法用分数表示涂色部分。既增加了学习趣味，也凸现了分数的意义（平均分的份数和表示的份数），在实际的情景中深入认识和理解分数，很好地突破难点。两个层次的练习，都是从正面入手，强化思维套路，一“材”多用，一“材”多变，一“材”多效，很好地把握了教学重点，突破了教学难点，实现了有效教学。

【案例二】三年级“统计（求平均数）”教学片断

　　（在教学完例题，学生初步感知“平均数”并学会用“移多补少”“先合后分”的方法求平均数之后，老师出示下题）

　　生1: 我想应该是些年龄在10岁左右的小学生吧。我们班的同学差不多都是10岁。

　　师：你联系到自己的实际想问题，很棒！你们认为，这5个学生每人都一定正好是10岁吗？

　　生：不一定吧，只要年龄在10岁左右，接近10岁就行。

师：会出现5个同学都超过10岁，或者5个同学都小于10岁吗？为什么？

生：不会。平均年龄是10 岁，说明“10”是移多补少后的一个得数，它应该比最小的年龄大，比最大的年龄小。

　　师：（屏幕出示一幅图，图中有5个同学，分别显示他们的年龄为11岁、11岁、10岁、9岁和9岁）是这样的5个人，行吗？你是怎么想的？

　　生：可以。我是用“移多补少”的方法算的，两个11岁的各拿1岁给两个9岁的，10岁不动，这样他们的平均年龄就是10岁了。

　　生：我是用“先合后分”的方法计算的，11+11+10+9+9=50（岁），50÷5=10（岁）

师：公园里来的这５个人，一定都得是和我们差不多大的孩子吗？

生：也可能有大人。

　　生：也可能有一个大人，其他的都是幼儿园的小朋友？

　　师：为啥这个大人不带着我们这么大的孩子，一定要带着幼儿园的小朋友呢？，

生：因为平均年龄是10岁啊，大人的年龄比10大得多，移多补少的话，一定是补给特别小的孩子才行（学生一边说着一边用手势忽高忽低的比划着）。

　　师：大家明白他的意思了吗？（屏幕出示又一幅图，图中一个阿姨手搀着四个小朋友，分别显示年龄为30岁、5岁、5岁、5岁、5岁）。可以是这样的５个人吗？（可以）谁来确认一下？

　　生：我用先合后分的方法计算的，30＋5＋5＋5＋5＝50（岁），50÷5=10（岁）

　　师：如果这5个人中有四个人都正好是10岁，那第五个人多少岁你能知道吗？ 

　　生：也一定是10岁。

　　师：如果这5个人中有三个人正好是10岁，那还有两个人可能是多少岁呀？ 

生1：可能一个9岁，一个11岁。

生2: 可能一个8岁，一个12岁。

生3: 可能一个7岁，一个13岁。

……

师：看来大家已经发现了，另外两个人不一定也是10岁，但是——

生：另外两个人中有一个超过10岁的话，就必定有一个人是小于10岁，但是，他们的年龄加起来一定要是20岁。

【教学解读】

数学知识和儿童数学学习的思维、方式方法等都具有可逆性，正如克鲁捷茨基所说：“思想并不总是必须完全沿着相同的思路进行，可以向相反方向运动。”在数学学习中，让学生的思维反其道而行，执果索因，开放联想，可以进一步强化对原有认知的理解，提升已有学习水平，促进认知结构的形成，从而进入到新的学习境地。

“平均数”是一组数据“平均”以后的得数，它在最小数和最大数之间，通过“移多补少”和“先合后分”的方法可以求到一组数的平均数，这是学生在例题学习中获得基础知识和初步经验。上述练习，从“平均数”这一结果性的题材入手，引导学生逆向思考。因为数据上的“小”和“巧”，降低了学生的思维与计算难度，但是活化了学生对平均数的认识与理解。特别是熟悉的生活情景，开放的数学素材为学生打开思路提供了条件。而用“移多补少”“先合后分”的方法对自己的设想进行验证，不但在互逆运动中进一步加强了对“平均数”的理解和求解，也发展了学生的自我检查的能力，起到了基础性、综合性、开放性、严谨性思维训练的功效。这一练习的设计，既是教师教学机智的展现，更蕴含着教师的教学智慧。课堂练习不仅起到了反馈信息的作用，而且激活了学生的灵性。这种动态生成的课堂，正是充满智慧与挑战的课堂。

　　“正”和“反”是事物存在的两个方面，也是人们认识事物的两个角度和两种方式。有学者在研究《庄子》及道教哲学时就曾指出，“正向和反向两种思维方式，它贯穿于道教的教旨、教义和炼丹术之中，成为道教哲学特有的思维特征，也是道教哲学对中国哲学的重大贡献”。（参见王丽英：《顺化与逆化--道教哲学的思维特征》，刊《中国道教》2002年第四期）在数学课堂教学中，“正面强化”也正是从数学概念、原理、方法的本质内涵的正面出发，通过对教学要点的不断强化，以达到加深印象、增强理解、把握内核的教学实效，具有流畅性、迁移性、深入性等明显特点；而“反向厘析”，则是从结果、从反面出发，通过推理、辨析、比较等思维活动，不断凸显数学概念、原理、方法的本质要义，从而达到教学的有效，具有灵活型、开放性、深刻性等鲜明特色。二者异中求同，同中显异，无论是在新知教学阶段还是在巩固学习阶段，对它们的合理应用，必将能为我们创建生动、有效的数学课堂带来生机。

本文刊发在《小学教学》2008年第5期